\documentclass[12pt, a4paper] {article}
\usepackage[utf8] {inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english, russian] {babel}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{float,listings,a4wide,longtable,amsmath,amsfonts,graphicx,tikz,caption,subcaption}
\usepackage{indentfirst,verbatim}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
  {\large
    Университет ИТМО \\
    Кафедра Систем управления и информатики\\
  }
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
\begin{center}
  {\large
    ``Основы теории автоматического управления''\\
    ``Лабораторная работа 1''\\
  }
  \emph{
    Вариант 8
  }
\end{center}
\vspace{\stretch{6}}
\begin{flushright}
  Работу выполнили студенты группы P3415\\
  {\it Фомин Евгений\\
    Халанский Дмитрий \\
  }
\end{flushright}
\vspace{\stretch{4}}
\begin{center}
  2017
\end{center}
\newpage

\section{Исследование модели вход-выход}
\begin{figure}[h!]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
    \begin{tabular}{ r | c }
         Порядок модели n & 2 \\
         $a_0$ & 2 \\
         $a_1$ & 0.5 \\
         $a_2$ & --- \\
         $b_0$ & 4 \\
         $b_1$ & 2 \\
         $b_2$ & 0 \\
    \end{tabular}
    \caption{Параметры}
    \label{tab:params1}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
    \begin{tabular}{ r | c }
         Порядок модели n & 2 \\
         $y(0)$ & 1 \\
         $\dot{y}(0)$ & 1 \\
         $\ddot{y}(0)$ & --- \\
    \end{tabular}
    \caption{Начальные условия}
    \label{tab:inits1}
    \end{subfigure}
\end{figure}

В соответствии с заданием, модель вход-выход в виде скалярного дифференциального уравнения
\[
  y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_1y^{(1)} + a_0y = b_mu^{(m)} + b_{m-1}u^{(m-1)}+\cdots +b_1u^{(1)}+b_0u
\]
примет вид
\[
   0.5y^{(1)} + 2y = 2u^{(1)}+4u
\]
Заменим операцию дифференцирования оператором дифференцирования $s = d / dt$
\[
   0.5sy + 2y = 2su + 4u
\]
и выразим $y$
\[
   y = 4u + \frac{8u}{s} - \frac{2y}{s}
\]
Получены следующие схемы моделирования и графики:\\

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{1_1}
    \caption{Схема моделирования}
    \label{pic:model1}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}[b]{\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{1_1_plot}
    \caption{График}
    \label{pic:plot1}
    \end{subfigure}
    \caption*{Модель при $u=1(t)$}
    \label{fig:model1}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{1_2}
    \caption{Схема моделирования}
    \label{pic:model1}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}[b]{\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{1_2_plot}
    \caption{График}
    \label{pic:plot2}
    \end{subfigure}
    \caption*{Модель при $u=2sin(t)$}
    \label{fig:model2}
\end{figure}
При моделировании свободного движения системы получен следующий график:\\

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1_3_plot}
\caption{$u=0(t)$}
\label{pic:plot3}
\end{figure}

\section{Исследование модели вход-состояние-выход}
\begin{equation*}
     A = \begin{vmatrix}
       -1          & 4           & 3           \\[0.3em]
       0           & 0           & -4          \\[0.3em]
       0           & 1           & -0.5
     \end{vmatrix}
     \qquad
     B = \begin{vmatrix}
       1           \\[0.3em]
       2           \\[0.3em]
       0
     \end{vmatrix}
     \qquad
     C = \begin{vmatrix}
       0.25        \\[0.3em]
       1           \\[0.3em]
       0
     \end{vmatrix}
\end{equation*}

Получена следующая система:
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x_1} = -x_1 + 4x_2 +3x_3 + u \\
\dot{x_2} = -4x_3 + 2u \\
\dot{x_3} = -x_2 - 0.5x_3 \\
y = 0.25x_1 + x_2
\end{cases}
\end{equation*}


Получены следующие схемы моделирования и графики:\\

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{2_1}
    \caption{Схема моделирования}
    \label{pic:model4}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}[b]{\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{2_1_plot}
    \caption{График}
    \label{pic:plot4}
    \end{subfigure}
    \caption*{Модель при $u=1(t)$}
    \label{fig:model4}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{2_2}
    \caption{Схема моделирования}
    \label{pic:model5}
    \end{subfigure}
    \hfill
    \begin{subfigure}[b]{\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{2_2_plot}
    \caption{График}
    \label{pic:plot5}
    \end{subfigure}
    \caption*{Модель при $u=2sin(t)$}
    \label{fig:model5}
\end{figure}
При моделировании свободного движения системы получен следующий график:\\

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2_3_plot}
\caption{$u=0(t)$}
\label{pic:plot6}
\end{figure}

\section{Выводы}
В результате проделанной работы мы убедились в том,
что широкий класс дифференциальных уравнений возможно
моделировать аналоговыми электрическими схемами. Это открывает
значительный потенциал для анализа явлений, которые
сложны в воспроизведении, но подчиняются установленным
несложным законам в виде дифференциальных уравнений.

\end{document}
