\documentclass[12pt, a4paper] {article}
\usepackage[utf8] {inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english, russian] {babel}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{float,listings,a4wide,longtable,amsmath,amsfonts,graphicx,tikz,caption,subcaption}
\usepackage{indentfirst,verbatim}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
  {\large
  Университет ИТМО \\
  Кафедра Систем управления и информатики\\
  }
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
\begin{center}
  {\large
  ``Основы теории автоматического управления''\\
  ``Лабораторная работа 2''\\
  }
  \emph{
  Вариант 8
  }
\end{center}
\vspace{\stretch{6}}
\begin{flushright}
  Работу выполнили студенты группы P3415\\
  {\it Фомин Евгений\\
  Халанский Дмитрий \\
  }
\end{flushright}
\vspace{\stretch{4}}
\begin{center}
  2017
\end{center}
\newpage

\section{Переход от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход}
\textbf{Исходные данные}
\begin{align*}
  a_0 = 2; \quad a_1 = 0.5 \\
  b_0 = 4; \quad b_1 =2; \quad b_0 = 0 \\
  y(0) = 1;\quad  \dot{y}(0) = 0 \\
\end{align*}
\textbf{Уравнение описания системы}
\begin{align*}
  0.5sy + 2y = 2su + 4u \\
  y(0.5s + 2) = u(2s + 4) \\
\end{align*}
\textbf{Передаточная функция}
\[
W(s) = \frac{2s + 4}{0.5s + 2}
\]

\textbf{Каноническая управляемая форма}
\[
A = \begin{bmatrix}
0 & -2 \\
1 & -0.5
\end{bmatrix}
\quad
B = \begin{bmatrix}
 4 \\
 2
\end{bmatrix}
\quad
C = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]

\textbf{Каноническая наблюдаемая форма}
\[
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-2 & -0.5
\end{bmatrix}
\quad
B = \begin{bmatrix}
 0 \\
 1
\end{bmatrix}
\quad
C = \begin{bmatrix}
4 & 2
\end{bmatrix}
\]

Моделирование было произведено с использованием блоков TransferFcn и двух
State-space для канонических управляемой и наблюдаемой форм; схема представлена
на рисунке \ref{fig:sc1}, общий график выходных функций представлен на \ref{fig:pl1}

\begin{figure}{b}
  \centering
  \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{1}
    \caption{Схема моделирования}
    \label{fig:sc1}
  \end{subfigure}
  \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot_1}
    \caption{График моделирования}
    \label{fig:pl1}
  \end{subfigure}
  \caption{Переход от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход}
  \label{fig:ex1}
\end{figure}




\section{Переход от модели вход-состояние-выход к модели вход-выход}
\textbf{Исходные данные}
\[
  A = \begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    -15 & -2
  \end{bmatrix}
  \quad
  B = \begin{bmatrix}
    0 \\
    1
  \end{bmatrix}
  \quad
  C = \begin{bmatrix}
    10 & 1
  \end{bmatrix}
\]

\textbf{Передаточная функция}
\begin{align*}
W(s) = C(sI-A)^{-1}\cdot B \\
W(s) = \begin{bmatrix} 10 & 1 \end{bmatrix} \cdot \Bigg(s\cdot
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
1 & 1\\ -15 & -2\end{bmatrix} \Bigg)^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{s + 9}{s^2 + s + 13}
\end{align*}
\textbf{Модель вход-выход}
\[
  y^{(2)} + y^{(1)} + 13y = u^{(1)} + 9
\]

\textbf{Каноническая управляемая форма}
\[
A = \begin{bmatrix}
0 & -13 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
\quad
B = \begin{bmatrix}
 9 \\
 1
\end{bmatrix}
\quad
C = \begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}
\]

\textbf{Каноническая наблюдаемая форма}
\[
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-13 & -1
\end{bmatrix}
\quad
B = \begin{bmatrix}
 0 \\
 1
\end{bmatrix}
\quad
C = \begin{bmatrix}
9 & 1
\end{bmatrix}
\]

Cхема представлена на рисунке \ref{fig:sc1},
график выходных функций, представленный на рисунке \ref{fig:pl1}, совпадает
для выходных функций всех трех блоков.

\begin{figure}{b}
  \centering
  \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{2}
    \caption{Схема моделирования}
    \label{fig:sc2}
  \end{subfigure}
  \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot_2}
    \caption{График моделирования}
    \label{fig:pl2}
  \end{subfigure}
  \caption{Переход от модели вход-состояние-выход к модели вход-выход}
  \label{fig:ex2}
\end{figure}


\section{Замена базиса в пространстве состояний}
\textbf{Исходные данные}
\[
  A = \begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    -15 & -2
  \end{bmatrix}
  \quad
  B = \begin{bmatrix}
    0 \\
    1
  \end{bmatrix}
  \quad
  C = \begin{bmatrix}
    10 & 1
  \end{bmatrix}
  \quad
  M = \begin{bmatrix}
    2 & 8 \\
    0 & 2
  \end{bmatrix}
\]
\textbf{Результат преобразования}
\[
  \hat{A} = \begin{bmatrix} 61 & 253 \\ -15 & -61 \end{bmatrix}
  \quad
  \hat{B} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0 \end{bmatrix}
  \quad
  \hat{C} = \begin{bmatrix} 20 & 82 \end{bmatrix}
\]

\begin{figure}{b}
  \centering
  \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{3}
    \caption{Схема моделирования}
    \label{fig:sc3}
  \end{subfigure}
  \begin{subfigure}{0.45\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot_3}
    \caption{График моделирования}
    \label{fig:pl3}
  \end{subfigure}
  \caption{Замена базиса в пространстве состояний}
  \label{fig:ex3}
\end{figure}

\section{Выводы}
В результате проделанной работы мы проверили правила
перехода между моделями "вход-выход" и "вход-состояние-выход"
путём построения моделей, основанных на представлении
дифференциальных уравнений в виде аналоговых электрических схем.
\end{document}
