\documentclass[12pt, a4paper] {ncc}
\usepackage[utf8] {inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english, russian] {babel}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{listings,a4wide,longtable,amsmath,amsfonts,graphicx,tikz}
\usepackage{indentfirst,fancyvrb,pdfpages,tabularx}
\usepackage[rounded]{syntax}

\begin{document}
\setcounter{figure}{0}
\frenchspacing
\pagestyle{empty}
% ============================ ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ ================================
\begin{center}
     Национальный исследовательский университет информационных технологий,
                              механики и оптики.\\
                       Кафедра систем управления и информатики.\\
                  Основы теории автоматического управления.
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
\begin{center}
                         {\bf Лабораторная работа №5}\\
                Свободное и вынужденное движение линейных систем.\\
                                {\sl 8 вариант}
\end{center}
\vspace{\stretch{3}}
\begin{flushright}
                                        Работу выполнили студенты группы P3415\\
                                                             {\it Фомин Евгений},
                                                         {\it Халанский Дмитрий}
\end{flushright}
\vspace{\stretch{4}}
\begin{center}
                                      2017
\end{center}
% ======================== КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА ============================
\newpage
\pagestyle{plain}
% ================================ ОТЧЁТ =====================================

\section{Задание}

Начальные условия и корни характеристических уравнений:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\textwidth}{|c|X|X|X|X|}
\hline
$N$ & \multicolumn{2}{c|}{Начальные условия} & \multicolumn{2}{c|}{Корни характеристического} \\
    & \multicolumn{2}{c|}{}                  & \multicolumn{2}{c|}{уравнения} \\
\cline{2-5}
    & $y_0$  & $\dot{y_0}$ & $\lambda_1$  & $\lambda_2$  \\
\hline
1   & $1$    & $0$         & $-3.0$       & $-1.5$       \\
2   & $1$    & $0$         & $-1.2 + j10$ & $-1.2 - j10$ \\
3   & $1$    & $0$         & $j10$        & $-j10$       \\
4   & $0.05$ & $0$         & $1.2 + j10$  & $1.2 - j10$  \\
5   & $0.05$ & $0$         & $3.0$        & $1.5$        \\
6   & $0$    & $0.1$       & $-0.8$       & $0.8$        \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Параметры системы и входное воздействие:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$a_0$ & $a_1$ & $b$ & $g_1(t)$ & $g_2(t)$ & $g_3(t)$ \\
\hline
1 & 2 & 2 & $1.5$ & $0.4t$ & $\cos(2t)$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\section{Математическая модель}

\subsection{Поиск $a_0$, $a_1$}

Нам даны два корня уравнения $\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0$. Подставляя их
в уравнение, имеем систему:

\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
\lambda_1^2 + a_1 \lambda_1 + a_0 &= 0 \\
\lambda_2^2 + a_1 \lambda_2 + a_0 &= 0
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}

Имеем по теореме Виета:

\begin{equation*}
\begin{aligned}
a_0 &= \lambda_1 \lambda_2 \\
a_1 &= - \left(\lambda_1 + \lambda_2\right)
\end{aligned}
\end{equation*}

\subsection{Поиск выражения свободной составляющей}

В зависимости от корней характеристического уравнения свободная составляющая
может принимать разный вид:

\paragraph{$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$}

\begin{equation*}
y_\text{св} (t) = \left(C_1 + C_2 t\right) e^{\lambda t}
\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
y_\text{св}  (0) &= C_1 \\
y'_\text{св} (0) &= \lambda C_1 + C_2 \\
\end{aligned}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
C_1 &= y_\text{св}(0) \\
C_2 &= - \lambda y_\text{св}(0) + y'_\text{св}(0)
\end{aligned}\right.
\end{equation*}

\begin{equation*}
y_\text{св} (t) = \left(y_\text{св}(0) \cdot (1 - \lambda t) + y'_\text{св}(0) t\right) e^{\lambda t}
\end{equation*}

\paragraph{$\lambda = \alpha \pm (\beta + 0i)$}

\begin{equation*}
y_\text{св} (t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}
\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
y_\text{св}  (0) &= C_1 + C_2 \\
y'_\text{св} (0) &= \lambda_1 C_1 + \lambda_2 C_2 \\
\end{aligned}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
C_1 &= \dfrac{y'_\text{св}(0) - \lambda_2 y_\text{св}(0)}{\lambda_1 - \lambda_2} \\
C_2 &= -\dfrac{y'_\text{св}(0) - \lambda_1 y_\text{св}(0)}{\lambda_1 - \lambda_2} \\
\end{aligned}\right.
\end{equation*}

\begin{equation*}
y_\text{св} (t) = \dfrac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} \left( \left(y'_\text{св}(0) - \lambda_2 y_\text{св}(0)\right) e^{\lambda_1 t} -
\left(y'_\text{св}(0) - \lambda_1 y_\text{св}(0)\right) e^{\lambda_2 t}\right)
\end{equation*}

\paragraph{$\lambda = \alpha \pm \omega i$}

\begin{equation*}
y_\text{св} (t) = A e^{\alpha t} \sin(\omega t + \phi)
\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
y_\text{св}  (0) &= A \sin(\phi) \\
y'_\text{св} (0) &= A \left( \omega \cos(\phi) + \alpha \sin(\phi)\right) \\
\end{aligned}\right.
\Rightarrow
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\{\begin{aligned}
\phi &= \arcctg \left( \omega^{-1} \cdot \left( \dfrac{y'_\text{св}(0)}{y_\text{св}(0)} - \alpha \right) \right) \\
A &= y_\text{св} (0) \cdot \text{sgn}\left(y'_\text{св}(0) - \alpha y_\text{св}(0)\right)
	\sqrt{\left( \omega^{-1} \cdot \left( \dfrac{y'_\text{св}(0)}{y_\text{св}(0)} - \alpha \right) \right)^2 + 1}
\end{aligned}\right.
\end{equation*}

\paragraph{$\lambda = \pm \omega i$}

Применяя наработки предыдущего параграфа при $\alpha = 0$:

\begin{equation*}
y_\text{св} (t) = A \sin(\omega t + \phi)
\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
y_\text{св}  (0) &= A \sin(\phi) \\
y'_\text{св} (0) &= A \omega \cos(\phi) \\
\end{aligned}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
\phi &= \arcctg \left( \dfrac{y'_\text{св}(0)}{\omega y_\text{св}(0)} \right) \\
A &= y_\text{св} (0) \cdot \text{sgn}\left(y'_\text{св}(0)\right)
	\sqrt{\left(\dfrac{y'_\text{св}(0)}{\omega y_\text{св}(0)}\right)^2 + 1}
\end{aligned}\right.
\end{equation*}


\section{Расчёт}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.95\textwidth}{|c|X|X|X|X|X|X|c|}
\hline
$N$ & \multicolumn{2}{c|}{Корни}  & \multicolumn{2}{c|}{Параметры} & \multicolumn{2}{c|}{Условия} & Свободная \\
\cline{2-7}
    & $\lambda_1$    & $\lambda_2$        & $a_0$    & $a_1$  & $y_0$  & $\dot{y_0}$ & составляющая $y_\text{св}(t)$\\
\hline
1   & $-3.0$         & $-1.5$             & $4.5$    & $4.5$  & $1$    & $0$         & $ 2 e^{-1.5 t} - e^{-3t} $                        \\ \hline
2   & \multicolumn{2}{c|}{$-1.2 \pm j10$} & $101.44$ & $2.4$  & $1$    & $0$         & $ 1.0072 e^{-1.2} \sin (10t + 1.4515) $           \\ \hline
3   & \multicolumn{2}{c|}{$\pm j10$}      & $100$    & $0$    & $1$    & $0$         & $ \sin\left(10t + \frac \pi 2\right)$             \\ \hline
4   & \multicolumn{2}{c|}{$1.2 \pm j10$}  & $101.44$ & $-2.4$ & $0.05$ & $0$         & $ 0.05036 e^{1.2} \sin\left(-10t + 1.4514\right)$ \\ \hline
5   & $3.0$          & $1.5$              & $4.5$    & $-4.5$ & $0.05$ & $0$         & $ 0.1 e^{1.5t} -0.05 e^{3t}$                      \\ \hline
6   & \multicolumn{2}{c|}{$\pm 0.8$}      & $-0.64$  & $0$    & $0$    & $0.1$       & $ \frac{1}{16}\left(e^{0.8t} - e^{-0.8t}\right)$  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\section{Эксперименты}

\subsection{Расчёт свободных составляющих}

\subsubsection{$ 2 e^{-1.5 t} - e^{-3t} $}

$y$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,1}
\end{center}

$y'$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,1d}
\end{center}

\subsubsection{$ 1.0072 e^{-1.2} \sin (10t + 1.4515) $}

$y$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,2}
\end{center}

$y'$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,2d}
\end{center}

\subsubsection{$ \sin\left(10t + \frac \pi 2\right)$}

$y$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,3}
\end{center}

$y'$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,3d}
\end{center}

\subsubsection{$ 0.05036 e^{1.2} \sin\left(-10t + 1.4514\right)$}

$y$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,4}
\end{center}

$y'$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,4d}
\end{center}

\subsubsection{$ 0.1 e^{1.5t} -0.05 e^{3t}$}

$y$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,5}
\end{center}

$y'$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,5d}
\end{center}

\subsubsection{$ \frac{1}{16}\left(e^{0.8t} - e^{-0.8t}\right)$}

$y$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,6}
\end{center}

$y'$:
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1,6d}
\end{center}

\subsection{Фазовые кривые}

\subsubsection{$ 1.0072 e^{-1.2} \sin (10t + 1.4515) $}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2,2p}
\end{center}

\subsubsection{$ \sin\left(10t + \frac \pi 2\right)$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2,3p}
\end{center}

\subsubsection{$ 0.05036 e^{1.2} \sin\left(-10t + 1.4514\right)$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2,4p}
\end{center}

\subsection{Вынужденное движение}

\subsubsection{$g = 1.5$}

\paragraph{$g(t)$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,1g}
\end{center}

\paragraph{$y(t), y(0) = -1$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,1,1}
\end{center}

\paragraph{$y(t), y(0) = 0$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,1,2}
\end{center}

\paragraph{$y(t), y(0) = 1$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,1,3}
\end{center}

\subsubsection{$g = 0.4t$}

\paragraph{$g(t)$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,2g}
\end{center}

\paragraph{$y(t), y(0) = -1$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,2,1}
\end{center}

\paragraph{$y(t), y(0) = 0$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,2,2}
\end{center}

\paragraph{$y(t), y(0) = 1$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,2,3}
\end{center}

\subsubsection{$g = \cos(2t)$}

\paragraph{$g(t)$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,3g}
\end{center}

\paragraph{$y(t), y(0) = -1$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,3,1}
\end{center}

\paragraph{$y(t), y(0) = 0$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,3,2}
\end{center}

\paragraph{$y(t), y(0) = 1$}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{3,3,3}
\end{center}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{scheme}
\end{center}
\caption{Схема моделирования свободной составляющей}
\end{figure}

\section{Выводы}

В результате проделанной работы мы смоделировали дифференциальные уравнения вида
$y'' + a_1 y' + a_0 y = bg(t)$, где $b$ может быть равен $0$, что соответствует
свободному движению системы, путём построения аналоговых электрических систем,
описываемых такими дифференциальными уравнениями. Это позволяет осуществлять, к
примеру, анализ затухающих колебательных движений.

\end{document}

