\documentclass[12pt, a4paper] {ncc}
\usepackage[utf8] {inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english, russian] {babel}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{listings,a4wide,longtable,amsmath,amsfonts,graphicx,tikz}
\usepackage{indentfirst,fancyvrb,pdfpages,tabularx,caption}
\usepackage[rounded]{syntax}

\usetikzlibrary{positioning}

\begin{document}
\setcounter{figure}{0}
\frenchspacing
\pagestyle{empty}
% ============================ ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ ================================
\begin{center}
     Национальный исследовательский университет информационных технологий,
                              механики и оптики.\\
                       Кафедра вычислительной техники.\\
                          Теория принятия решений.
\end{center}
\vspace{\stretch{2}}
\begin{center}
                         {\bf Лабораторные работы №1-3}\\
                                {\sl 11 вариант}
\end{center}
\vspace{\stretch{3}}
\begin{flushright}
                                        Работу выполнили студенты группы P3415\\
                                                             {\it Фомин Евгений},
                                                         {\it Халанский Дмитрий}
\end{flushright}
\vspace{\stretch{4}}
\begin{center}
                                      2017
\end{center}
% ======================== КОНЕЦ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА ============================
\newpage
\pagestyle{plain}
% ================================ ОТЧЁТ =====================================

\tableofcontents

\section*{Исходные данные}
\addcontentsline{toc}{section}{Исходные данные}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
    & P    &    M &   K  \\ \hline
$C$ & 15   &    6 &   2  \\ \hline
$V$ & 23   &   13 &   5  \\ \hline
$p$ & 0.93 & 0.93 & 0.94 \\ \hline
$\lambda$ & \multicolumn{3}{c|}{$0.7\lambda_0$ Гц} \\ \hline
$S$       & \multicolumn{3}{c|}{$250$} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\tikzset{my/.style={rectangle, draw, black, fill=white}}
\tikzset{k/.style={my, minimum width=3cm}}

\begin{figure}[!h]
\centering
\begin{minipage}[b]{0.3\linewidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[node distance=1em and -1.3em]
\node (s) {};
\node[my, below = of s] (p) {P};
\node[my, below = of p] (m) {M};
\draw[->] (s) -- (p);
\draw     (p) -- (m);
\end{tikzpicture}
\caption*{Структура 1}
\end{minipage}
\hspace{0.01\linewidth}
\begin{minipage}[b]{0.3\linewidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[node distance=1em and -1.3em]
\node (s) {};
\node[k,  below= of s] (k) {K};
\node[my, below left  = of k] (p1) {P};
\node[my, below       = of k] (p2) {P};
\node[my, below right = of k] (m)  {M};
\draw[->] (s)  -- (k);
\draw     (k.south -| p1.north) -- (p1.north);
\draw     (k.south -| p2.north) -- (p2.north);
\draw     (k.south -|  m.north) --  (m.north);
\end{tikzpicture}
\caption*{Структура 7}
\end{minipage}
\hspace{0.01\linewidth}
\begin{minipage}[b]{0.3\linewidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[node distance=1em and -1.3em]
\node (s) {};
\node[k,  below= of s] (k) {K};
\node[my, below left  = of k]  (p1) {P};
\node[my, below       = of k]  (p2) {P};
\node[my, below right = of k]  (p3) {P};
\node[my, below left  = of p1] (m1) {M};
\node[my, below       = of p2] (m2) {M};
\node[my, below right = of p3] (m3) {M};
\draw[->] (s)  -- (k);
\draw     (k.south  -| p1.north) -- (p1.north);
\draw     (k.south  -| p2.north) -- (p2.north);
\draw     (k.south  -| p3.north) -- (p3.north);
\draw     (p1.south -| m1.north) -- (m1.north);
\draw     (p2.south -| m2.north) -- (m2.north);
\draw     (p3.south -| m3.north) -- (m3.north);
\end{tikzpicture}
\caption*{Структура 24}
\end{minipage}
\hspace{0.01\linewidth}
\begin{minipage}[b]{0.3\linewidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[node distance=1em and -1.3em]
\node (s) {};
\node[k,  below= of s] (k1) {K};
\node[my, below left  = of k1]  (p1) {P};
\node[my, below right = of k1]  (p2) {P};
\node[my, below left  = of p1] (m1) {M};
\node[k,  below       = of p2] (k2) {K};
\node[my, below left  = of k2] (m2) {M};
\node[my, below right = of k2] (m3) {M};
\draw[->] (s)  -- (k);
\draw     (k1.south -| p1.north) -- (p1.north);
\draw     (k1.south -| p2.north) -- (p2.north);
\draw     (p1.south -| m1.north) -- (m1.north);
\draw     (p2.south) -- (k2.north -| p2.south);
\draw     (k2.south -| m2.north) -- (m2.north);
\draw     (k2.south -| m3.north) -- (m3.north);
\end{tikzpicture}
\caption*{Структура 10}
\end{minipage}
\hspace{0.01\linewidth}
\begin{minipage}[b]{0.3\linewidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[node distance=1em and 1em]
\node (s) {};
\node[my, below       = of s ] (p)  {P};
\node[    below       = of p ] (c)  { };
\node[my, below left  = of c ] (k1) {K};
\node[my, below right = of c ] (k2) {K};
\node[my, below       = of k1] (m1) {M};
\node[my, below       = of k2] (m2) {M};
\draw[->] (s)  -- (p);
\draw     (p.south) -- (c.center);
\draw     (c.center) -| (k1.north);
\draw     (c.center) -| (k2.north);
\draw     (k1.south) -- (m1.north);
\draw     (k2.south) -- (m2.north);
\draw     (k1.south) -- (m2.north);
\draw     (k2.south) -- (m1.north);
\end{tikzpicture}
\caption*{Структура 15}
\end{minipage}
\caption{Структуры, определённые заданием}
\end{figure}

\section{Многокритериальный выбор}

\subsection{Оценка надёжности структур}

Определим вероятность безотказной работы.

Чтобы структура функционировала, необходимо, чтобы существовал по крайней мере
один путь от точки входа до устройства хранения.

\begin{description}
\item[1.] Должны функционировать оба элемента: $P = P_P \cdot P_M$.
\item[7.] Должны функционировать коммутатор, устройство хранения и одно из
обрабатывающих устройств. Вероятность того, что откажет одно устройство
обработки, равна $1 - P_P$; того, что откажут оба~--- $(1 - P_P)^2$; того,
что, напротив, хотя бы один не откажет,~--- $1 - (1 - P_P)^2$. В результате
имеем $P = P_K \cdot P_M \cdot \left(1 - (1 - P_P)^2\right)$.
\item[24.] Должен функционировать коммутатор, а также хотя бы одна пара из
устройства хранения и обрабатывающего устройства. Вероятность работы каждой
конкретной пары равна $P_M \cdot P_P$, того, что пара работать не будет,~---
$1 - P_M \cdot P_P$, того, что не будет работать три пары,~--- $(1 - P_M \cdot
P_P)^3$, а того, что будет работать хотя бы одна пара из трёх,~--- $1 - (1 - P_M
\cdot P_P)^3$. Итоговый результат~--- $P = P_K \cdot \left(1 - (1 - P_M \cdot
P_P)^3\right)$.
\item[10.] Должны функционировать один коммутатор, а также либо пара из
обработчика и устройства хранения, либо обработчик, коммутатор и одно из
двух устройств хранения. $P = P_K \cdot \left(1 - \left(1 - P_M \cdot P_P
\right) \cdot \left(1 - P_P \cdot P_K \cdot \left(1 - (1 - P_M)^2\right)
\right)\right)$.
\item[15.] Должны работать вычислитель, а также хотя бы один коммутатор и хотя
бы одно устройство хранения. $P = P_P \cdot \left(1 - (1 - P_K)^2\right) \cdot
\left(1 - (1 - P_M)^2\right)$.
\end{description}

Подставляя конкретные значения, получим такие результаты:

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$N$    & $P$ \\ \hline
\bf 1  & $86.49\%$ \\ \hline
\bf 7  & $86.99\%$ \\ \hline
\bf 24 & $93.77\%$ \\ \hline
\bf 10 & $92.35\%$ \\ \hline
\bf 15 & $92.21\%$ \\ \hline
\end{tabular}

\subsection{Оценка времени пребывания}

Рассмотрим каждый узел системы как M/M/1.

Формулы для M/M/1:

\begin{description}
\item[Среднее время пребывания] $u = \dfrac{1}{\mu - \lambda}$, где $\mu$~---
среднее время обслуживания, $\lambda$~--- интенсивность входящего потока;
\item[Среднее время ожидания] $w = u - \dfrac{1}{\mu}$.
\end{description}

Формулы для сетей массового обслуживания:

\begin{description}
\item[Среднее время пребывания] $u = \sum\limits_i a_i u_i$, где $u_i$~---
среднее время пребывания для заданного узла, $a_i$~--- среднее количество раз,
которое заявка в попадает в узел;
\item[Среднее время ожидания] $w = \sum\limits_i a_i w_i$.
\end{description}


\tikzset{my2/.style={circle, draw, black, fill=white}}

\begin{description}

\item[1.] Простая система из двух последовательных M/M/1.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[node distance=3em]
\node (s) {};
\node[my2, right = of s] (p) {$\mu_P$};
\node[my2, right = of p] (m) {$\mu_M$};
\node[right = of m] (e) {};
\draw[->] (s) -- node[midway,above] {$\lambda$} (p);
\draw[->] (p) -- node[midway,above] {$\lambda$} (m);
\draw[->] (m) -- node[midway,above] {$\lambda$} (e);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Интенсивность выходящего из M/M/1 потока равна интенсивности входящего.

Времена пребывания в такой системе просто суммируются: заявка сначала проводит
время в одной очереди и одном приборе, затем в другой очереди и другом приборе.

$$u = u_1 + u_2 = \dfrac{1}{\mu_P - \lambda} + \dfrac{1}{\mu_M - \lambda}$$

\item[7.] Каждая заявка после того, как пройдёт через вычислитель, должна ещё
раз оказаться в коммутаторе перед попадением в устройство хранения.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[node distance=3em]
\node (s) {};
\node[my2, right       = of s] (k)  {$\mu_K$};
\node[my2, above right = of k] (p1) {$\mu_P$};
\node[my2, below right = of k] (p2) {$\mu_P$};
\node[my2,       right = of k] (m)  {$\mu_M$};
\node[right = of m] (e) {};
\draw[->]  (s) -- node[midway,above] {$\lambda$} (k);
\draw[<->] (k) -- node[midway,above] {$\dfrac{\lambda}{2}$} (p1);
\draw[<->] (k) -- node[midway,below] {$\dfrac{\lambda}{2}$} (p2);
\draw[->]  (k) -- node[midway,above] {$\lambda$} (m);
\draw[->]  (m) -- node[midway,above] {$\lambda$} (e);
\end{tikzpicture}
\end{center}

$$u = 2 u_K + 0.5 u_{P_1} + 0.5 u_{P_2} + u_M = \dfrac{1}{\frac {\mu_K} 2 -
\lambda} + \dfrac{1}{\mu_P - \frac{\lambda}{2}} + \dfrac{1}{\mu_M - \lambda}$$

Коэффициенты 2 и $0.5$ обусловлены тем, что заявка дважды попадает в коммутатор
и лишь в половине случаев находится в $P_1$ и в половине~--- в $P_2$.

\item[24.] Заявка проходит через коммутатор, а затем попадает в один из трёх
идентичных приборов, составленных из цепи вычислителя и устройства хранения.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[node distance=3em and 3em]
\node (s) {};
\node[my2, right = of s] (k)  {$\mu_K$};
\node[right = of  k] (q2) {};
\node[above = of q2] (q1) {};
\node[below = of q2] (q3) {};
\node[my2, right = of q1] (p1) {$\mu_P$};
\node[my2, right = of q2] (p2) {$\mu_P$};
\node[my2, right = of q3] (p3) {$\mu_P$};
\node[my2, right = of p1] (m1) {$\mu_M$};
\node[my2, right = of p2] (m2) {$\mu_M$};
\node[my2, right = of p3] (m3) {$\mu_M$};
\node[right = of m1] (e1) {};
\node[right = of m2] (e2) {};
\node[right = of m3] (e3) {};

\draw[->] (s) -- node[midway,above] {$\lambda$} (k);
\draw (k) -- node[midway,above] {$\lambda$} (q2.center);
\draw (q1.center) -- (q2.center) -- (q3.center);
\draw[->] (q1.center) -- node[midway,above] {$\frac{\lambda}{3}$} (p1);
\draw[->] (q2.center) -- node[midway,above] {$\frac{\lambda}{3}$} (p2);
\draw[->] (q3.center) -- node[midway,above] {$\frac{\lambda}{3}$} (p3);
\draw[->] (p1)        -- node[midway,above] {$\frac{\lambda}{3}$} (m1);
\draw[->] (p2)        -- node[midway,above] {$\frac{\lambda}{3}$} (m2);
\draw[->] (p3)        -- node[midway,above] {$\frac{\lambda}{3}$} (m3);
\draw[->] (m1)        -- node[midway,above] {$\frac{\lambda}{3}$} (e1);
\draw[->] (m2)        -- node[midway,above] {$\frac{\lambda}{3}$} (e2);
\draw[->] (m3)        -- node[midway,above] {$\frac{\lambda}{3}$} (e3);
\end{tikzpicture}
\end{center}

$$u = u_K + 3 \left(\frac 1 3 \left( u_P + u_M \right) \right) = \dfrac{1}
{\mu_K - \lambda} + \dfrac{1}{\mu_P - \frac \lambda 3} + \dfrac{1}{\mu_M -
\frac \lambda 3}$$

\item[10.] Определим вероятность выбора каждого варианта в каждом коммутаторе
как $\frac 1 2$.

Тогда имеем:

$$\begin{aligned}
u &= u_{K_1} + \frac 1 2 \left(u_{P_1} + u_{M_1}\right) + \frac 1 2
\left(u_{P_2} + u_{K_2} + \frac 1 2 u_{M_2} + \frac 1 2 u_{M_3} \right) \\
  &= u_{K_1} + u_{P_1} + \frac 1 2 u_{M_1} + \frac 1 2 u_{K_2} + \frac 1 2
     u_{M_2} \\
  &= \dfrac 1 {\mu_K - \lambda} + \dfrac 1 {\mu_P - \frac \lambda 2} +
     \dfrac 1 {2 \mu_M - \lambda} + \dfrac 1 {2 \mu_K - \lambda} +
     \dfrac 1 {2 \mu_M - \frac \lambda 2}
\end{aligned}$$

\item[15.] Вероятность попадания в конкретный коммутатор или конкретное
устройство хранения~--- $0.5$. Тогда через каждый коммутатор и каждое устройство
хранения проходит половина потока:

$$u = u_P + 2 \frac 1 2 u_K + 2 \frac 1 2 u_M = \dfrac 1 {\mu_P - \lambda} +
\dfrac 1 {\mu_K - \frac \lambda 2} + \dfrac 1 {\mu_M - \frac \lambda 2}$$

\end{description}

\subsection{Поиск максимальной интенсивности}

Максимальная интенсивность, при которой не происходит перегрузка, легко
определяется так: в каждом знаменателе при расчёте среднего времени пребывания в
случае без перегрузки положительное число. Исходя из этого, имеем:

\begin{description}
\item[1.]  $\lambda < \min\left(\mu_P, \mu_M\right)$
\item[7.]  $\lambda < \min\left(\frac 1 2 \mu_K, 2\mu_P, \mu_M\right)$
\item[24.] $\lambda < \min\left(\mu_K, 3\mu_P, 3\mu_M\right)$
\item[10.] $\lambda < \min\left(\mu_K, 2\mu_P, 2\mu_M\right)$
\item[15.] $\lambda < \min\left(2\mu_K, \mu_P, 2\mu_M\right)$
\end{description}

Таким образом, интенсивность, не вызывающая перегрузки никакой системы: \\
$\lambda_0 < \min\left(\frac 1 2 \mu_K, \mu_P, \mu_M\right)$.

Подставляя значения из условия:

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$N$    & $\lambda$ \\ \hline
\hline
\bf 1  & $0.0435$ \\ \hline
\bf 7  & $0.0769$ \\ \hline
\bf 24 & $0.1304$ \\ \hline
\bf 10 & $0.0870$ \\ \hline
\bf 15 & $0.0435$ \\ \hline
\hline
\bf 0  & $0.0435$ \\ \hline
\end{tabular}

\subsection{Расчёт среднего времени ожидания}

Мы имеем формулы вида $\sum\limits_i \dfrac{1}{k_i \mu_i - b_i \lambda}$ для
расчёта среднего времени пребывания. В таком случае формулой для
соответствующего времени ожидания будет

$$\sum\limits_i \dfrac{1}{k_i \mu_i - b_i\lambda} - \dfrac{1}{k_i \mu_i} =
u - \sum\limits_i \dfrac{b_i}{k_i}$$

\begin{description}
\item[1.]   $w = u - b_P - b_M$
\item[7.]   $w = u - b_P - b_M - 2 b_K$
\item[24.]  $w = u - b_P - b_K - b_M$
\item[10.]  $w = u - b_P - 1.5 b_K - b_M$
\item[15.]  $w = u - b_P - b_K - b_M$
\end{description}

Подставляем $\lambda = 0.7 \lambda_0 = 0.7 \mu_P$:

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$N$    & $u$     & $w$     \\ \hline
\bf 1  & $98.18$ & $62.18$ \\ \hline
\bf 7  & $84.50$ & $38.50$ \\ \hline
\bf 24 & $50.87$ & $ 9.87$ \\ \hline
\bf 10 & $59.30$ & $15.80$ \\ \hline
\bf 15 & $98.28$ & $57.28$ \\ \hline
\end{tabular}

\subsection{Расчёт затрат на построение}

Требуется всего лишь подсчитать количество элементов каждого вида.

\begin{description}
\item[1.]  $C_P + C_M$
\item[7.]  $2 \cdot C_P + C_M + C_K$
\item[24.] $3 \cdot C_P + 3 \cdot C_M + C_K$
\item[10.] $2 \cdot C_P + 3 \cdot C_M + 2 \cdot C_K$
\item[15.] $C_P + 2 \cdot C_M + 2 \cdot C_K$
\end{description}

На конкретных значениях получим:

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$N$    & $C$ \\ \hline
\bf 1  & $21$ \\ \hline
\bf 7  & $38$ \\ \hline
\bf 24 & $65$ \\ \hline
\bf 10 & $50$ \\ \hline
\bf 15 & $31$ \\ \hline
\end{tabular}

\subsection{Определение области эффективных решений}

Представим все варианты в порядке ухудшения каждой характеристики:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$P$ & $u$ & $\Lambda$ & $C$ \\ \hline
\hline
24  & 24  & 24        &  1 \\ \hline
10  & 10  & 10        & 15 \\ \hline
15  &  7  &  7        &  7 \\ \hline
7   &  1  &  1        & 10 \\ \hline
1   & 15  & 15        & 24 \\ \hline
\end{tabular}

Обнаруживаем, что ни один вариант не лучше никакого другого по всем критериям.

\subsection{Поиск наилучшего варианта}

Для поиска варианта требуется выбрать способ нормализации значений: нельзя
сравнивать доллары и секунды, нужно перейти к безразмерным величинам.

Существуют, к примеру, такие способы нормализации:

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\bf Название & \bf Формула \\ \hline
Естественная & $\dfrac{f(i) - \min_i f(i)}{\max_i f(i) - \min_i f(i)}$ \\ \hline
Относительная & $\dfrac{f(i)}{\max_i f(i)}$ \\ \hline
Контекстуальная & $\dfrac{f(i) - t}{T - t}$ \\ \hline
\end{tabular}

Под $t$ и $T$ при контекстуальной нормализации подразумеваются заранее
определённые максимальные и минимальные значения: к примеру, имеющийся бюджет
может быть определён как наибольшая допустимая стоимость, а заранее определённый
ожидаемый поток посетителей~--- как наименьшая интенсивность входящих заявок.

Мы выбираем контекстуальную нормализацию с такими минимальными и максимальными
значениями:

\begin{description}
\item[Надёжность] Максимальная возможная надёжность~--- $100\%$, минимальная~---
та, при которой не происходит никакого резервирования и заявка должна пройти
через обработчик и устройство памяти: $P_M \cdot P_P = 86.49\%$.
\item[Среднее время пребывания] Очевидно, что в идеальном случае заявка
находится в системе ровно столько, сколько необходимо, чтобы она прошла через
устройства обработки и хранения: $u = u_M + u_P = 13 + 23 = 36$. Худшим случаем
является бесконечное время ожидания, однако зададим конечную величину, значения
выше которой мы считаем неприемлемыми: $108$, в три раза больше минимальной.
\item[Интенсивность] Определим границы как $0.01$ и $0.4$.
\item[Стоимость] В стоимость входят как минимум один обработчик и одно
устройство памяти: $C = C_P + C_M = 15 + 6 = 21$. За максимальную стоимость
примем $250$, данное в условии к следующей лабораторной работе.
\end{description}

Условимся, что $1.0$~--- наилучшее значение для данного критерия, $0.0$~---
наихудшее. Те критерии, которые требуется минимизировать, а не максимизировать,
следует преобразовать так: $f_n(i) := 1.0 - f_n(i)$.

Получаем:

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
$N$ & $P$    & $u$     & $\Lambda$ & $C$ \\ \hline
\hline
1   & $0.00$ & $0.136$ & $0.09$    & $1.00$ \\ \hline
7   & $0.04$ & $0.326$ & $0.17$    & $0.93$ \\ \hline
24  & $0.54$ & $0.793$ & $0.31$    & $0.81$ \\ \hline
10  & $0.43$ & $0.676$ & $0.20$    & $0.87$ \\ \hline
15  & $0.42$ & $0.135$ & $0.09$    & $0.96$ \\ \hline
\end{tabular}

\subsubsection{Минимаксный критерий}

Минимаксный метод заключается в том, что к матрице нормализованных значений
критериев приписывается дополнительный столбец, в котором размещается наименьшее
значение на данной строке. В качестве принимаемого решения выбирается то, на
строке которого в дополнительном столбце наибольшее число.

$$\min_i f_n(i) \rightarrow \max$$

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c||c|}
\hline
$N$ & $P$    & $u$     & $\Lambda$ & $C$    &        \\ \hline
\hline
1   & $0.00$ & $0.136$ & $0.09$    & $1.00$ & $0.00$ \\ \hline
7   & $0.04$ & $0.326$ & $0.17$    & $0.93$ & $0.04$ \\ \hline
24  & $0.54$ & $0.793$ & $0.31$    & $0.81$ & $0.31$ \\ \hline
10  & $0.43$ & $0.676$ & $0.20$    & $0.87$ & $0.20$ \\ \hline
15  & $0.42$ & $0.135$ & $0.09$    & $0.96$ & $0.09$ \\ \hline
\end{tabular}

Мы выбрали решение $24$: самая слабая его сторона~--- пропускная способность, но
у остальных она ещё меньше. Эта система стоит значительно больше, чем остальные,
однако стоимость для нас не так значима.

\subsubsection{Мультипликативный критерий}

Мультипликативный метод заключается в максимизации произведения значений разных
критериев:

$$\prod_i f_n(i) \rightarrow \max$$

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c||c|}
\hline
$N$ & $P$    & $u$     & $\Lambda$ & $C$    &          \\ \hline
\hline
1   & $0.00$ & $0.136$ & $0.09$    & $1.00$ & $0.0000$ \\ \hline
7   & $0.04$ & $0.326$ & $0.17$    & $0.93$ & $0.0021$ \\ \hline
24  & $0.54$ & $0.793$ & $0.31$    & $0.81$ & $0.1075$ \\ \hline
10  & $0.43$ & $0.676$ & $0.20$    & $0.87$ & $0.0506$ \\ \hline
15  & $0.42$ & $0.135$ & $0.09$    & $0.96$ & $0.0049$ \\ \hline
\end{tabular}

Очевидный победитель~--- решение $24$.

\subsubsection{Аддитивный критерий}

Требуется максимизировать сумму значений разных критериев:

$$\sum_i f_n(i) \rightarrow \max$$

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c||c|}
\hline
$N$ & $P$    & $u$     & $\Lambda$ & $C$    &         \\ \hline
\hline
1   & $0.00$ & $0.136$ & $0.09$    & $1.00$ & $1.226$ \\ \hline
7   & $0.04$ & $0.326$ & $0.17$    & $0.93$ & $1.466$ \\ \hline
24  & $0.54$ & $0.793$ & $0.31$    & $0.81$ & $2.453$ \\ \hline
10  & $0.43$ & $0.676$ & $0.20$    & $0.87$ & $2.176$ \\ \hline
15  & $0.42$ & $0.135$ & $0.09$    & $0.96$ & $1.605$ \\ \hline
\end{tabular}

На первом месте по аддитивному критерию~--- решение $24$, самое дорогое, но в
остальных аспектах лидирующее. На втором месте $10$, которое по всем параметрам
рядом с $24$.

\subsubsection{Метод отклонения от идеала}

Идеальный прибор мы определяем как обладающий максимальными значениями,
описанными при выборе метода нормализации.

Его характеристики, таким образом, выглядят так:

\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
$P$    & $u$     & $\Lambda$ & $C$ \\ \hline
\hline
$1.00$ & $1.00$  & $1.00$    & $1.00$ \\ \hline
\end{tabular}

Теперь определим качество прибора как его близость к идеальному:

$$\sum_i f_I(i) - f_n(i) \rightarrow \min$$

Несложно заметить, что в силу выбора нормализации результат в данном случае
совпадает с результатом выбора по аддитивному критерию.

\subsection{Окончательный выбор структуры}

Мы выбрали вариант $24$ как оптимальный по всем критериям, кроме стоимости.
Также приемлемыми характеристиками обладает вариант $10$, однако он лишь на
$30\%$ дешевле. Выигрыш в надёжности, производительности и допустимом входном
потоке, как нам показалось, стоит этих денег.

\subsection{Рекомендации по улучшению структуры}

Если из убрать блок памяти и подключить два обработчика к одному из оставшихся,
окажется, что стоимость понизилась.

\begin{tikzpicture}[node distance=1em and -1.3em]
\node (s) {};
\node[k,  below= of s] (k) {K};
\node[my, below left  = of k]  (p1) {P};
\node[my, below       = of k]  (p2) {P};
\node[my, below right = of k]  (p3) {P};
\node[my, below       = of p2] (m2) {M};
\node[my, below right = of p3] (m3) {M};
\draw[->] (s)  -- (k);
\draw     (k.south  -| p1.north) -- (p1.north);
\draw     (k.south  -| p2.north) -- (p2.north);
\draw     (k.south  -| p3.north) -- (p3.north);
\draw     (p1.south)             -- (m2.north);
\draw     (p2.south -| m2.north) -- (m2.north);
\draw     (p3.south -| m3.north) -- (m3.north);
\end{tikzpicture}

Найдём формулы для определения характеристик новой системы:

$$P = P_K \cdot \left(1 - \left(1 - P_P \cdot P_M\right) \cdot \left(1 - P_M
\cdot \left(1 - \left(1 - P_P\right)^2 \right) \right) \right)$$

$$u = u_K + 3 \cdot \frac 1 3 \cdot u_P + \frac 2 3 u_{M_1} + \frac 1 3 u_{M_2} =
\dfrac{1}{\mu_K - \lambda} + \dfrac{1}{\mu_P - \frac \lambda 3} +
\dfrac{1}{\frac 3 2 \mu_M - \lambda} + \dfrac{1}{3 \mu_M - \lambda}$$

$$3 \cdot C_P + 2 \cdot C_M + C_K$$

$$\lambda = \min\left(\mu_K, 3 \mu_P, 1.5 \mu_M\right)$$

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
$P$     & $u$     & $\Lambda$ & $C$ \\ \hline
\hline
$93.05$ & $52.66$ & $0.1154$  & $59$ \\ \hline
\end{tabular}

В нормализованном виде:

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
$P$     & $u$     & $\Lambda$ & $C$ \\ \hline
\hline
$0.486$ & $0.769$ & $0.27026$ & $0.834$ \\ \hline
\end{tabular}

Таким образом, эта система стоит на втором месте по минимаксному критерию (после
$24$), а также с небольшим отрывом по мультипликативному (с
произведением характеристик, равным $0.0842$). По аддитивному критерию это
решение таже стоит на втором месте с суммой,
равной $2.3593$.

Таким образом, мы получаем решение, которое, имея лишь небольшой отрыв от
оптимального, улучшает его сторону, по которой оно слабее остальных.

\subsection{Выводы}

В результате проделанной работы мы применили свои знания в теории надёжности,
математическом моделировании и базовой арифметике для получения численных метрик
вычислительной системы, а также изучили основные методы принятия решений в
условиях, где не заданы заранее критерии оптимизации.

% =========================== ВТОРОЙ ОТЧЁТ =====================================
\newpage

\section{Многокритериальное оптимальное проектирование}

Без резервирования имеем систему:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[node distance=1em and -1.3em]
\node (s) {};
\node[k,  below= of s] (k) {K};
\node[my, below left  = of k]  (p1) {P};
\node[my, below       = of k]  (p2) {P};
\node[my, below right = of k]  (p3) {P};
\node[my, below left  = of p1] (m1) {M};
\node[my, below       = of p2] (m2) {M};
\node[my, below right = of p3] (m3) {M};
\draw[->] (s)  -- (k);
\draw     (k.south  -| p1.north) -- (p1.north);
\draw     (k.south  -| p2.north) -- (p2.north);
\draw     (k.south  -| p3.north) -- (p3.north);
\draw     (p1.south -| m1.north) -- (m1.north);
\draw     (p2.south -| m2.north) -- (m2.north);
\draw     (p3.south -| m3.north) -- (m3.north);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Формулы, по которым мы рассчитали параметры системы:
$$\begin{aligned}
P &= P_K \cdot \left(1 - (1 - P_M \cdot P_P)^3\right) \\
u &= u_K + 3 \left(\frac 1 3 \left( u_P + u_M \right) \right) = \dfrac{1}
    {\mu_K - \lambda} + \dfrac{1}{\mu_P - \frac \lambda 3} + \dfrac{1}{\mu_M -
    \frac \lambda 3} \\
\Lambda &= \lambda < \min\left(\mu_K, 3\mu_P, 3\mu_M\right) \\
C       &= 3 \cdot C_P + 3 \cdot C_M + C_K
\end{aligned}$$

Параметры при известных входных данных:

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
$P$       & $u$     & $\Lambda$ & $C$ \\ \hline
\hline
$93.77\%$ & $50.87$ & $0.1304$  & $65$ \\ \hline
\end{tabular}

\subsection{Поэлементное резервирование}

\subsubsection{Анализ}

Требуется обнаружить такую комбинацию $(n_K, n_P, n_M)$, что, пусть мы остаёмся
в рамках бюджета, достигается $\min u, \min C, \max P, \max \Lambda$.

Чтобы определить надёжность требуемой системы, требуется в формуле надёжности и
сходной системы каждое вхождение $P_a$ заменить на $\left(1 - (1 -
P_a)^{n_a}\right)$: элемент заменяется на $n_a$ идентичных ему, и этой формулой
задаётся вероятность того, что работает хотя бы один из элементов.

Рассмотрим, что происходит со среднем временем ожидания при поэлементном
резервировании. Итак, каждый элемент в сумме $u = \sum_i \dfrac{1}{\mu_i -
\lambda_i}$ заменяется, если ему соответствует прибор типа $a$, на $n_a$
идентичных ему элементов. При этом поток в каждый из этих элементов будет в
$n_a$ раз меньше, чем у исходного, как и вероятность попадания в этот
конкретный элемент: $\dfrac{1} {\mu_i - \lambda_i} \rightarrow \sum^{n_a}
\frac{1}{n_a} \dfrac{1}{\mu_i - \frac {\lambda_i}{n_a}} =
\dfrac{1}{\mu_i - \frac{\lambda_i}{n_a}}$. Таким образом, в каждом слагаемом в
выражении для среднего времени ожидания необходимо лишь заменить $\lambda$ на
$\frac{\lambda}{n}$.

Это позволяет быстро определить, как переход к поэлементному резервированию
влияет на допускаемый поток входящих заявок: раз входной поток в каждый узел
типа $a$ становится в $n_a$ раз меньше, значит, он может быть в $n_a$ раз
больше, чем раньше. Соответственно, в каждом аргументе к $\min$ мы увеличиваем
дозволенный поток в $n_a$ раз.

Со стоимостью ещё проще: достаточно в формуле для её вычисления $C_a$ домножить
на $n_a$.

Результирующие формулы таковы:

$$\begin{aligned}
P &= \left(1 - (1 - P_K)^{n_K}\right) \cdot
     \left(1 - \left(1 -
               \left(1 - (1 - P_M)^{n_M}\right) \cdot
               \left(1 - (1 - P_P)^{n_P}\right)
               \right)^3\right) \\
u &= \dfrac{1}{\mu_K - \frac \lambda {n_K}} +
     \dfrac{1}{\mu_P - \frac \lambda {3n_P}} +
     \dfrac{1}{\mu_M - \frac \lambda {3n_M}} \\
\Lambda &= \lambda < \min\left(n_K\mu_K, 3n_P\mu_P, 3n_M\mu_M\right) \\
C       &= 3 \cdot n_P C_P + 3 \cdot n_M C_M + n_K C_K
\end{aligned}$$

Подставляя вместо всех $n$ единицы, получаем отсутствие поэлементного
резервирования и, как и следует ожидать, исходные формулы.

\subsubsection{Получение значений}

Экспериментально установим некоторые близкие к идеальным значения и зададим
такие ограничения, чтобы лишь небольшой набор комбинаций $n$ под них подходил.
Это будут: $P \ge 1 - 1e-9$, $C \le 250$, $u \le 43.4$.

Получаем такие комбинации:

\begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|c|}
\hline
$n_K$ & $n_M$ & $n_P$ & $1-P, 10^{-9}$ & $u$      & $\Lambda$ & $C$   \\ \hline
\hline
 8    &  3    &  4    & $2.17$         & $43.120$ & $0.52$    & $250$ \\ \hline
 8    &  5    &  3    & $2.09$         & $43.389$ & $0.39$    & $241$ \\ \hline
 9    &  5    &  3    & $0.51$         & $43.378$ & $0.39$    & $243$ \\ \hline
10    &  5    &  3    & $0.42$         & $43.369$ & $0.39$    & $245$ \\ \hline
11    &  5    &  3    & $0.4098$       & $43.362$ & $0.39$    & $247$ \\ \hline
12    &  5    &  3    & $0.4095$       & $43.356$ & $0.39$    & $249$ \\ \hline
\end{tabular}

Легко заметить, что все решения, кроме первого,~--- это поставить пять блоков
памяти, три блока обработки и некоторое количество коммутаторов.

Нормализуем согласно таким соображениям:

\begin{itemize}
\item Худшие случаи выбираем такие, какие использовали при фильтрации;
\item Лучший случай для времени пребывания~--- отсутствие очередей, то есть
проход по одному разу по коммутатору, обработчику и устройству памяти: $41$;
\item Лучший случай для надёжности~--- $100\%$;
\item Граничные случаи для интенсивности входных заявок~--- $0.35 и 0.6$;
\item Лучший случай для стоимости~--- $240$.
\end{itemize}

Тогда нормализованные значения таковы:

\begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|c|}
\hline
$n_K$ & $n_M$ & $n_P$ & $P$      & $u$     & $\Lambda$ & $C$    \\ \hline
\hline
 8    &  3    &  4    & $0.7826$ & $0.110$ & $0.69$    & $0.00$ \\ \hline
 8    &  5    &  3    & $0.7910$ & $0.005$ & $0.17$    & $0.90$ \\ \hline
 9    &  5    &  3    & $0.9490$ & $0.009$ & $0.17$    & $0.70$ \\ \hline
10    &  5    &  3    & $0.9584$ & $0.012$ & $0.17$    & $0.50$ \\ \hline
11    &  5    &  3    & $0.9590$ & $0.016$ & $0.17$    & $0.30$ \\ \hline
12    &  5    &  3    & $0.9591$ & $0.018$ & $0.17$    & $0.10$ \\ \hline
\end{tabular}

\subsubsection{Поиск наилучшего решения}

\paragraph{Главный критерий}

Считая, что надёжность в $1.00 - 10^{-9}$ достаточно хороша, не ставим своей
целью её дальнейшее увеличение. Вместо этого обеспокаиваемся величиной
входного потока и средним временем пребывания. В таких условиях побеждает
вариант $(8, 3, 4)$.

\paragraph{Мультипликативный критерий} Посчитаем значения произведений частных
показателей:

\begin{tabular}{|c|c|c||c|}
\hline
$n_K$ & $n_M$ & $n_P$ &          \\ \hline
\hline
 8    &  3    &  4    & $0.000000$ \\ \hline
 8    &  5    &  3    & $0.000605$ \\ \hline
 9    &  5    &  3    & $0.001010$ \\ \hline
10    &  5    &  3    & $0.000978$ \\ \hline
11    &  5    &  3    & $0.000783$ \\ \hline
12    &  5    &  3    & $0.000293$ \\ \hline
\end{tabular}

Побеждает вариант $(9, 5, 3)$ как наиболее сбалансированный по цене и остальным
показателям.

\paragraph{Аддитивный критерий} Значения сумм частных показателей:

\begin{tabular}{|c|c|c||c|}
\hline
$n_K$ & $n_M$ & $n_P$ &          \\ \hline
\hline
 8    &  3    &  4    & $1.5826$ \\ \hline
 8    &  5    &  3    & $1.8660$ \\ \hline
 9    &  5    &  3    & $1.8280$ \\ \hline
10    &  5    &  3    & $1.6404$ \\ \hline
11    &  5    &  3    & $1.4450$ \\ \hline
12    &  5    &  3    & $1.2471$ \\ \hline
\end{tabular}

Обнаруживаем, что побеждает вариант $(8, 5, 3)$, низкая стоимость которого даёт
существенный прирост общему значению.

\paragraph{Метод отклонения от идеала} В силу способа нормализации по идеалу мы
обнаруживаем, что результат вычисления по аддитивному критерию совпадает с
методом отклонения от идеала. Таким образом, мы уже нашли ответ: $(8, 5, 3)$.

\paragraph{Метод последовательной уступки} Определяем значение главного критерия
и осуществляем уступку по нему. Так как значение уступки по выбранным нами
главным критериям требуется слишком большое и требуется выбрать только одно
значение, выберем другой главный критерий: стоимость. По ней оптимальный вариант
$(8, 5, 3)$. Зададим уступку в $4$ у. е. и произведём оптимизацию по времени
пребывания. Тогда имеем три варианта: $(8, 5, 3)$, $(9, 5, 3)$ и $(10, 5, 3)$.
Побеждает вариант $(10, 5, 3)$ со значением $43.369$. Произведём уступку в
$0.01$ и произведём оптимизацию по надёжности. Имеем $(9, 5, 3)$ и $(10, 5,
3)$, и $(10, 5, 3)$ снова выигрывает. Критериев, по которым можно произвести
дальнейшую оптимизацию, не осталось,~--- побеждает $(10, 5, 3)$.

\paragraph{Метод STEM} Метод STEM заключается в ~~~
% Мне было лень понимать, что написано в методичке. Будет настроение -- допишу.

\subsection{Общее резервирование}

\subsection{Анализ}

Рассмотрим формулы для системы, полученной из исходной путём полного
резервирования.

Пусть надёжность исходной системы равна $P_a$. Тогда вероятность её отказа~---
$1 - P_a$. Вероятность того, что не работает $n$ таких систем разом,~---
$(1 - P_a)^n$. Соответственно, вероятность того, что хотя бы одна работает,~---
$1 - (1 - P_a)^n$.

Далее, пусть среднее время пребывания в системе равно $u_a(\lambda)$. Тогда
вероятность попадания заявки в конкретную из $n$ систем равна $\frac 1 n$.
Соответственно, если при полном резервировании мы имеем в $n$ раз меньший поток
в каждую из копий. Так как $u = \sum_i \alpha_i u_i$, имеем $u = \sum_i^n
\frac{1}{n} u_a\left(\frac \lambda n\right) = u_a\left(\frac \lambda n\right)$.

Теперь, пусть ранее максимальный допустимый входной поток был равен $\lambda_a$,
который мы вычисляли как $\min M$. При резервировании же имеем $\lambda =
\min n M$: в силу того, что все потоки в каждой копии уменьшились
пропорционально в $n$ раз по сравнению с имеющимися в исходной системе, каждая
копия способна обрабатывать в $n$ раз больший входной поток. Так как $\min nA =
n \min A$, имеем $\Lambda = n \min M = n \lambda_a$.

Стоимость системы, состоящей из $n$ копий, равна стоимости одной копии $n$ раз:
$C = n C_a$.

Итоговые формулы:

$$\begin{aligned}
P &= 1 - (1 - P_a)^n \\
u &= \dfrac{1} {\mu_K - \frac \lambda n} +
     \dfrac{1} {\mu_P - \frac \lambda {3n}} +
     \dfrac{1} {\mu_M - \frac \lambda {3n}} \\
\Lambda &= n\lambda_a \\
C       &= n C_a
\end{aligned}$$

Мы пользуемся значениями $P_a$, $\lambda_a$ и $C_a$, поскольку они уже
расчитаны.

\subsubsection{Получение значений}

В силу того, что стоимость выбранной системы равна $65$ у. е., а бюджет
составляет $250$ у. е., мы можем себе позволить только трёхкратное
резервирование: $65 \cdot 3 = 210 = 250 - 40$.

Таким образом, мы можем рассмотреть лишь три различных варианта:

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
$n$ & $P$       & $u$     & $\Lambda$ & $C$   \\ \hline
\hline
1   & $93.77\%$ & $50.87$ & $0.1304$  & $65$  \\ \hline
2   & $99.61\%$ & $45.37$ & $0.2608$  & $130$ \\ \hline
3   & $99.98\%$ & $43.80$ & $0.3912$  & $195$ \\ \hline
\end{tabular}

Нормализуем по таким правилам:

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\bf Показатель   & \bf Худший случай & \bf Лучший случай \\
\hline
Надёжность       & $93.00\%$         & $100\%$ \\
Время пребывания & $60$              & $41$    \\
Интенсивность    & $0.1$             & $0.6$   \\
Стоимость        & $250$             & $50$    \\
\hline
\end{tabular}

Получаем:

\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|}
\hline
$n$ & $P$       & $u$     & $\Lambda$ & $C$     \\ \hline
\hline
1   & $0.11000$ & $0.481$ & $0.0608$  & $0.925$ \\ \hline
2   & $0.94429$ & $0.770$ & $0.3216$  & $0.600$ \\ \hline
3   & $0.99714$ & $0.853$ & $0.5824$  & $0.275$ \\ \hline
\end{tabular}

\subsubsection{Поиск наилучшего решения}

\paragraph{Мультипликативный критерий} Строим таблицу произведений
нормализованных частных показателей:

\begin{tabular}{|c|c|c||c|}
\hline
$n$ &          \\ \hline
1   & $0.0030$ \\ \hline
2   & $0.1403$ \\ \hline
3   & $0.1362$ \\ \hline
\end{tabular}

С небольшим отрывом выигрывает резервирование, при котором у нас есть два
экземпляра системы. Сильно проигрывает отсутствие резервирования.

\paragraph{Аддитивный критерий} Значения сумм:

\begin{tabular}{|c|c|c||c|}
\hline
$n$ &          \\ \hline
1   & $1.5768$ \\ \hline
2   & $2.6359$ \\ \hline
3   & $2.7075$ \\ \hline
\end{tabular}

По аддитивному критерию лучше резервирование с тремя экземплярами. Снова
отсутствие резервирования значительно хуже любой формы его наличия.

\subsection{Сравнение методов резервирования}

Обнаруживается, что поэлементное резервирование куда более гибкое и позволяет в
рамках заданных ограничений добиться значительно больших результатов. Однако
необходимо учитывать, что полное резервирование существенно проще реализуемо на
практике: достаточно, не изменяя внутренней структуры прибора, добавить схожих с
ним и добиться прироста по нужным параметрам, в то время как поэлементное
резервирование требует наличия контроля над реализацией прибора.

\newpage
% ============================= ТРЕТИЙ ОТЧЁТ ===================================

\section{Оптимизация в условиях неопределённости}

В рамках прошлой работы мы определили формулы для поэлементного резервирования,
а именно:

$$\begin{aligned}
u &= \dfrac{1}{\mu_K - \frac \lambda {n_K}} +
     \dfrac{1}{\mu_P - \frac \lambda {3n_P}} +
     \dfrac{1}{\mu_M - \frac \lambda {3n_M}} \\
C &= 3 \cdot n_P C_P + 3 \cdot n_M C_M + n_K C_K
\end{aligned}$$

Требуется найти такие $(n_K, n_P, n_M)$, что достигает оптимального значения
критерий

$$u\left(\vec n\right) \cdot C\left(\vec n\right) \rightarrow \min$$

\subsection{Описание неопределённого потока}

Зададим вектор вероятностей интенсивностей входного потока так:

$$b =
\left[\begin{aligned}
b_0 \\
b_1 \\
b_2 \\
b_3 \\
\end{aligned}\right]
= 
\left[\begin{aligned}
0.2 \\
0.4 \\
0.3 \\
0.1 \\
\end{aligned}\right]$$

\subsection{Оптимизация по критерию Байеса}

Расчёт по методу Байеса заключается в минимизации матожидания критерия:

$$\sum_i b_i \left(u(\lambda_i) \cdot C(\lambda_i)\right) \rightarrow \min$$

Реализуя эту функцию в GNU Octave, получаем результат: минимальное значение она
принимает в тривиальном случае

$$(n_K, n_M, n_P) = (1, 1, 1)$$

\subsection{Оптимизация при среднем значении интенсивности}

Среднее значение интенсивности определяется как $\sum_i b_i \lambda_i$.
Подсталяя значения, имеем результат:

$$\overline\lambda = 0.48\lambda_0 \approx 0.0209$$

Рассчитывая минимальное значение критерия при заданной интенсивности, имеем
тот же результат:

\subsection{Оптимизация при максимальной интенсивности}

Максимальной интенсивностью считаем $\lambda_0$. Тогда необходимо найти
оптимальное решение по критерию

$$u(\lambda_0) \cdot C(\lambda_0) \rightarrow \min$$

И снова результат

$$(n_K, n_M, n_P) = (1, 1, 1)$$

\subsection{Оптимизация по минимуму потерь}

При оптимизации по точке $i$ имеем критерий

$$u(\lambda_i) \cdot C(\lambda_i) \rightarrow \min$$

Однако обнаружилось, что во всех этих точках оказывается оптимальным одно и то
же решение:

$$(n_K, n_M, n_P) = (1, 1, 1)$$

\subsection{Графики}

Единственным решением, которое появилось в рамках выполнения данной лабораторной
работы, оказалось $(n_K, n_M, n_P) = (1, 1, 1)$. Построим график зависимости
среднего времени ожидания для данного случая. Он определяется формулой:

$$w(\lambda) = \dfrac{1}{\mu_K - \lambda} +
              \dfrac{1}{\mu_P - \frac \lambda 3} +
              \dfrac{1}{\mu_M - \frac \lambda 3} - b_P - b_K - b_M$$

После подстановки констант и некоторых преобразований получаем

$$w(\lambda) = \dfrac{39}{3 - 13\lambda} + \dfrac{5}{1 - 5\lambda} +
               \dfrac{69}{3 - 23\lambda} - 41$$

\begin{tikzpicture}[domain=0:1/23,yscale=1,xscale=300,samples=400]
\draw[->,thick] (0, 0) node[below] {$0$} -- (1/23, 0) node[below] {$\lambda$};
\draw[->,thick] (0, 0) -- (0, 16) node[left] {$w(\lambda)$};
\draw[very thin] (0, 0) grid[ystep=.5,xstep=1/600] (1/23, 15.99);
    \foreach \i in {0.010,0.020,0.030,0.040} {
        \draw (\i,1/10) -- (\i,-1/10) node[below] {$\i$};
    }
    \foreach \i in {1, 2, ..., 15} {
        \draw (1/3000,\i) -- (-1/3000,\i) node[left] {$\i$};
    }
\draw[color=red] plot (\x,{39/(3 - 13*\x) + 5/(1 - 5 * \x) +
    69 / (3 - 23 * \x) - 41});
\end{tikzpicture}

\subsection{Сравнение методов оптимизации}

Так как все методы оптимизации дали один и тот же результат, сложно их
сопоставить. Однако интуитивно понятно, что метод Байеса более точный, поскольку
учитывает вероятности тех или иных нагрузок. В то же время метод, заключающийся
в выборе наихудшего случая и оптимизации под него, весьма пессимистичный, но
может быть полезен, когда ожидается, что система часто будет оперировать в
режиме наибольшей нагрузки. Наконец, метод поиска решений путём взятия среднего
значения интенсивности позволяет оптимально адресовать случаи, когда ожидаются
лишь малые флунктуации относительно матожидания, то есть при распределении
нагрузки, обладающим малым среднеквадратическим отклонением.

\subsection{Выводы}

Обнаружилось, что рассматриваемая система ведёт себя оптимально во всех
рассмотренных случаях даже без резервирования, если в качестве критерия
оптимизации принимать $C(\lambda) \cdot u(\lambda) \rightarrow \min$. Это
обусловлено малым приростом производительности при добавлении коммутаторов и
высокой стоимостью устройств памяти и обработки при высоком их числе, что
приводит к тому, что их резервирование требует сразу большого количества денег.

\end{document}

