\documentclass[a4paper]{article}
\title{Reliability report №2}
\author{baski}
\date{september 2015}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage[warn]{mathtext}
\usepackage{subcaption}
\usepackage{float}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\begin{document}
\begin{titlepage}
	\centering
	{\scshape\LARGE Университет ИТМО\par}
	\vspace{0.3cm}
	{\scshape\Large Кафедра вычислительной техники\\
	\vspace{0.2cm}
	<<Надежность и отказоустойчивость вычислительных сетей и систем>>\par}
	\vspace{4cm}
	{\scshape\large Лабораторная работа №3\par}
	\vspace{5cm}
	{\large
	{\raggedright{}
		\hspace{8.5cm}Выполил: \\
		\hspace{8.5cm}студент гр. P3315\\
		\hspace{8.5cm}Бонковски Патрик\\
		\hspace{8.5cm}Преподаватель: \\
		\hspace{8.5cm}Богатырев В.А.\\
	\par}
	\vfill
	 Санкт-Петербург\\
	2015\\}
\end{titlepage}
\section*{Цель работы}
Рассчитать надежность системы, состоящей из двух плат, на каждой из которых расположены
вычислительная машина (ВМ) и система хранения (СХ). Ремонт означает замену всей платы целиком. Ремонт производится сразу же после выхода из строя любого элемента. Система  представлена на рисунке~\ref{fig:scheme2}.\par
Сравнить коэффициент готовности данной системы, с коэффициентом готовности системы из лабораторной работы №2, у которой ремонт осуществляется в случае полной неработоспособности системы или же, когда не требуется отключение работоспособных элементов. 
\section*{Исходные данные}
Пусть:
\[\lambda_1 = 10^{-4},\lambda_2 = 10^{-3}, \mu=1\]
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics{scheme2}
	\caption{Система}
	\label{fig:scheme2}
\end{figure}
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{scheme3}
	\caption{Граф состояний}
	\label{fig:scheme3}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{scheme1_2}
	\caption{Граф состояний из лабораторной работы №2}
	\label{fig:scheme1_2}
\end{figure}
\section*{Расчеты}
Составим систему по графу состояний из рисунка~\ref{fig:scheme1_2}
\[
		\begin{cases}
			-2P_0(\lambda_1+\lambda_2) + \mu P_1 = 0\\
			2P_0(\lambda_1+\lambda_2)+\mu P_2 -P_1(\mu + \lambda_1 + \lambda_2) = 0\\
			P_0+P_1+P_2 = 1\\
		\end{cases}
\]

После расчета в GNU Octave получим следующие результаты:

\[
		\begin{cases}
			P_0 = 9.9780\cdot10^{-1}\\
			P_1 = 2.1952\cdot10^{-3}\\
			P_2 = 2.4147\cdot10^{-6}\\
		\end{cases}
\]

Найдем коэффициент готовности, как сумму работоспособных состояний,  по формуле:
\[
		К_{г3} = \displaystyle\sum_{i=0}^{1} P_i = 0.9999952
\]

Коэффициент готовности системы из лабораторной работы №2, \(К_{г2}\) равен 0.99871. Следовательно:
\[
		К_{г3} > К_{г2}
\]
\section*{Вывод}
Надежность системы, рассмотренной в этой лабораторной работе, незначительно выше надежности, рассмотренной в предыдущей лабораторной работе. Это следует, в частности, из того, что граф состояний на рисунке~\ref{fig:scheme3} обладает только одним неработоспособным состоянием, в отличие от графа на рисунке~\ref{fig:scheme1_2}, обладающим двумя такими состояниями (состояние \(P_6\) -- тоже является нерабочим). Из этого можно сделать вывод, что более частые ремонты системы, которые могут привести к некоторой потери производительности, в целом, повышают надежность системы. 
\end{document}