\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{caption}
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=2cm,bottom=1.5cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
\captionsetup{labelsep=period}
\pagestyle{fancy}

\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage[section]{placeins}
% Tikz
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,arrows,automata,positioning,calc}
\usetikzlibrary{chains,shapes.multipart}
\usetikzlibrary{shapes,calc}
\usetikzlibrary{automata,positioning}

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\fancyfoot[L] {\thepage\bf}
\fancyfoot[C] {}



\begin{document}
    \begin{titlepage}
        \begin{center}
            \large
            Университет ИТМО
            \vspace{3cm}

            Кафедра вычислительной техники
            \vspace{4cm}

            \textsc{ \textbf{Отчёт по домашней работе  № 2}\\ по дисциплине: \\ <<Моделирование>> }\\Вариант 15/17\\[8mm]

            \bigskip
        \end{center}
        \vspace{3cm}

        \hfill\begin{flushright}
             \vfill
             Преподаватель: \\ Муравьёва-Витковская Л.А.\\
        \end{flushright}
        \vfill
        \vfill
        \vfill
        \vfill
        \vfill
        \begin{center}
            Санкт-Петербург \\2016 г.
        \end{center}
    \end{titlepage}
   \newpage
    \section*{Содержание}
\begin{enumerate}
    \item Цели работы
    \item Этапы исследования
    \item Исходные данные
    \item Исследования системы
    \item Результаты работы
\end{enumerate}


\section*{ Цели работы }
Изучение метода марковских случайных процессов и его применение для исследования
приоритетных моделей -- СМО с неоднородным потоков заявок.

\section*{Этапы исследования}
\begin{enumerate}
    \item Построение и описание исследуемой системы массового обслуживания.
    \item Разработка марковской модели исследуемой системы.
    \item Проведение расчётов разработанной модели и получение результатов.
    \item Анализ полученных результатов.
    \item Аналих зависимостей характеристик системы при изменении нагрузки.
\end{enumerate}

\section*{Исходные данные}
\begin{itemize}
    \item Количество классов заявок ( К ) : 2.
    \item Число обслуживающих приборов ( П ) : 2.
    \item Ёмкости накопителей ( ЕН ): 2.
    \item Варианты занятия прибора ( ВЗП ): (в) поступившая заявка занимает
          свободный прибор с б\`oльшим номером.
    \item Дисциплина обслуживания ( ДО ): АП.
    \item Порядок назначения приоритетов ( ПНП ): 2-1.
    \item Дисциплина буферизации ( ДБ ): (б) заявка выского приоритета, поступающая
          в систему при заполненном общем накопителе, вытесняет из него заявку низшего
          приоритета, которая теряется.
    \item Дисциплина прерывания ( ДП ): (б) прерванная заявка возвращается в общий
          накопитель при наличии в нём свободных мест.
\end{itemize}
Параметры нагрузки:
\begin{itemize}
    \item $\lambda_1 = 1.0$
    \item $\lambda_2 = 2.0$
    \item $\lambda_3 = 0.1$
    \item $b_1 = 0.05$
    \item $b_2 = 0.1 $
    \item $b_3 = 1.0$
\end{itemize}

\FloatBarrier
\section*{Исследование системы}

\begin{tikzpicture}

    \node (a) {};
    \node[below of=a] (b) {};
    \node[below of=b] (c) {};

    \node[draw,circle,minimum size=0.5cm, right of=a] (ser1) {$P1$};
    \node[draw,circle,minimum size=0.5cm, right of=c] (ser3) {$P2$};

    \node[left = 3cm of b] (d) {$\lambda_1,\lambda_2$};
    \node[right = 0.4cm of d,rectangle split,rectangle split parts=4,draw,rectangle split horizontal,text depth=0.5cm,inner ysep=0pt] (h) {};

    \filldraw (b.center) circle [radius=1pt];
    \draw (h) -- (b.center);
    \draw (a.center) -- (c.center);

    \draw[->] (a.center) -- (ser1);
    %\draw[->] (b.center) -- (ser2);
    \draw[->] (c.center) -- (ser3);
    \draw[->] (d) -- (h);
\end{tikzpicture}

%\vspace{2cm}
\begin{table}[h]
    \begin{tabular} { |c|c| }
        \hline
        Состояние & Значение \\ \hline
        E0        & 00/00    \\ \hline
        E1        & 01/00    \\ \hline
        E2        & 10/00    \\ \hline
        E3        & 20/00    \\ \hline
        E4        & 02/00    \\ \hline
        E5        & 11/00    \\ \hline
        E6        & 21/00    \\ \hline
        E7        & 12/00    \\ \hline
        E8        & 22/00    \\ \hline
        E9        & 11/01    \\ \hline
        E10       & 12/01    \\ \hline
        E11       & 21/01    \\ \hline
        E12       & 22/01    \\ \hline
        E13       & 22/02    \\ \hline
        E14       & 11/11    \\ \hline
        E15       & 12/11    \\ \hline
        E16       & 22/11    \\ \hline
        E17       & 21/11    \\ \hline
        E18       & 22/21    \\ \hline
        E19       & 22/22    \\ \hline
    \end{tabular}
    \caption{Кодирование состояний системы №1.}
\end{table}
%\begin{center}
  \begin{tikzpicture} [->,node distance=3cm]

    \tikzstyle{every state}=[fill=white,draw=black,thick,text=black,scale=1]
    \tikzstyle{boxss}=[fill=white,draw,rectangle,font=\fontsize{3}{4}];

    \node[state]    (E0)                            {$00/00_{E0}$};

    \node[state]    (E2) [below left of=E0]         {$10/00_{E2}$};
    \node[state]    (E1) [left of=E2]               {$01/00_{E1}$};
    \node[state]    (E3) [right of=E2]              {$20/00_{E3}$};
    \node[state]    (E4) [right of=E3]              {$02/00_{E4}$};

    \node[state]    (E5) [below of=E1]        {$11/00_{E5}$};
    \node[state]    (E6) [right  of=E5]        {$21/00_{E6}$};
    \node[state]    (E7) [right  of=E6]        {$12/00_{E7}$};
    \node[state]    (E8) [right of=E7]        {$22/00_{E8}$};

    \node[state]    (E9) [below left = 3cm  of E5]        {$11/01_{E9}$};
    \node[state]    (E10)[right of=E9]        {$12/01_{E10}$};
    \node[state]    (E11)[right of=E10]        {$21/01_{E11}$};
    \node[state]    (E12)[right of=E11]        {$22/01_{E12}$};
    \node[state]    (E13)[right of=E12]        {$22/02_{E13}$};

    \node[state]    (E14)[below  of=E9]        {$11/11_{E14}$};
    \node[state]    (E15)[right  of=E14]        {$12/11_{E15}$};
    \node[state]    (E16)[right  of=E15]       {$22/11_{E16}$};
    \node[state]    (E17)[right  of=E16]       {$21/11_{E17}$};
    \node[state]    (E18)[right  of=E17]       {$22/21_{E18}$};
    \node[state]    (E19)[right  of=E18]       {$22/22_{E19}$};
    \path
            (E0) edge      node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_1 / \mu_1$}   (E1)
            (E0) edge      node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E4)

            (E1) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_1 / \mu_1$}   (E5)
            (E1) edge       node[pos=0.8,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E6)

            (E2) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}       (E0)

            (E3) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}       (E0)

            (E4) edge       node[pos=0.3,boxss]{$\lambda_1 / \mu_1$}   (E7)
            (E4) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E8)

%           (E5) edge[bend right]       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}       (E1)
            (E5) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}       (E2)
            (E5) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_1 / \mu_1$}   (E9)
            (E5) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E10)

%           (E6) edge[bend right]       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}       (E1)
            (E6) edge       node[pos=0.3,boxss]{$\mu_1$}       (E3)
            (E6) edge       node[pos=0.2,boxss]{$\lambda_1 / \mu_1 $}   (E11)
            (E6) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2 $}   (E12)

            (E7) edge       node[pos=0.3,boxss]{$\mu_2$}       (E2)
%           (E7) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}       (E4)
            (E7) edge       node[pos=0.8,boxss]{$\lambda_1 / \mu_1$}   (E10)
            (E7) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E12)

            (E8) edge       node[pos=0.3,boxss]{$\mu_2$}       (E3)
%           (E8) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}       (E4)
            (E8) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_1$}   (E12)
            (E8) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E13)

%           (E9) edge[bend right]       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}       (E5)
            (E9) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_1 / \mu_1$}   (E14)
            (E9) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E15)

%           (E10) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}       (E5)
%           (E10) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}       (E7)
            (E10) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_1 / \mu_1$}   (E15)
            (E10) edge       node[pos=0.8,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E16)

%           (E11) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}       (E6)
            (E11) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E16)
            (E11) edge       node[pos=0.7,boxss]{$\lambda_1 / \mu_1$}   (E17)

%           (E12) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}       (E7)
%           (E12) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}       (E6)
            (E12) edge       node[pos=0.2,boxss]{$\lambda_1$}   (E16)
            (E12) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E18)

%           (E13) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}       (E8)
            (E13) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_1$}   (E18)
            (E13) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2 / \mu_2$}   (E19)

%           (E14) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}      (E9)
            (E14) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2$}  (E15)

%           (E15) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}      (E10)
%           (E15) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}      (E9)
            (E15) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2$}  (E16)

%           (E16) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}      (E10)
%           (E16) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}      (E11)
            (E16) edge[bend right]       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2$}  (E18)

%           (E17) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_1$}      (E11)
            (E17) edge       node[pos=0.9,boxss]{$\mu_2$}      (E9)
            (E17) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2$}  (E16)

%           (E18) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}      (E12)
            (E18) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\lambda_2$}  (E19);

%           (E19) edge       node[pos=0.5,boxss]{$\mu_2$}      (E13);
 \end{tikzpicture}
%\end{center}

\newcommand{\ld} { $\lambda$}
\newcommand{\m} { $\mu$}

\begin{table}[h]
    \begin{tabular}{|c|c|c|}
        \hline
        Номер состояния & Обозначение & Вероятность \\ \hline
        0               & E0          & 0.778713    \\ \hline
        1               & E1          & 0.035821    \\ \hline
        2               & E2          & 0.003271    \\ \hline
        3               & E3          & 0.018376    \\ \hline
        4               & E4          & 0.137053    \\ \hline
        5               & E5          & 0.000910    \\ \hline
        6               & E6          & 0.002698    \\ \hline
        7               & E7          & 0.004723    \\ \hline
        8               & E8          & 0.012980    \\ \hline
        9               & E9          & 0.000046    \\ \hline
        10              & E10         & 0.000237    \\ \hline
        11              & E11         & 0.000166    \\ \hline
        12              & E12         & 0.001408    \\ \hline
        13              & E13         & 0.002443    \\ \hline
        14              & E14         & 0.000002    \\ \hline
        15              & E15         & 0.000010    \\ \hline
        16              & E16         & 0.000102    \\ \hline
        17              & E17         & 0.000005    \\ \hline
        18              & E18         & 0.000455    \\ \hline
        19              & E19         & 0.000580    \\ \hline
    \end{tabular}
    \caption{Стационарные вероятности системы №1.}
\end{table}

\begin{table}[h]
    \begin{tabular} { |c|c|c|c| }
        \hline
        Хар-ка              & Прибор & Расчётная формула               & Система №2 \\ \hline

                            & P1     &  $\lambda_1/\mu_1$              &  0.05       \\
         Нагрузка           & P2     &  $\lambda_2/\mu_2$              &  0.2        \\
                            & Сумм.  &  $y_1+y_2$                      &  0.25       \\ \hline

                            & P1     & $p_1+p_2+2p_5+p_6+p_7+2p_9+p_{10}+p_{11}+p_{12}+$ & 0.0499   \\
                            &        & $ 2p_{14}+p_{15}+p_{16}+p_{17}+p_{18}   $         &          \\
         Загрузка           & P2     & $p_3+p_4+p_6+p_7+2p_8+p_{10}+p_{11}+2p_{12}+$     & 0.1999   \\
                            &        & $p_{13}+p_{15}+2p_{16}+p_{17}+2p_{18}+2p_{19}$    & \\
                            & Сумм.  & $(r_1+r_2)/2$                                  & 0.1240   \\ \hline

                            & P1     & $p_9+p_{10}+p_{11}+p_{12}+2*p_{14}+2*p_{15}+$    &  0.0026       \\
                            &        & $ 2*p_{16}+2*p_{17}+p_{18}$                      &   \\
        Длина очереди (l)   & P2     & $p_{13}+p_{18}+p_{19}$                           &  0.0035       \\
                            & Сумм.  & $l_1+l_2$                                        &  0.006        \\ \hline

                            & P1     & $p_1+p_2+p_6+p_7+p_{12}+p_{18}+2*(p_5+p_{10}+$           & 0.0519  \\
                            &        & $ p_{11}+p_{16})+3*(p_9+p_{15}+p_{17})+4*p_{14}+p_{18}$  & \\
        Число заявок (m)    & P2     & $p_3+p_4+p_6+p_7+p_{10}+p_{11}+p_{17}+p_{15}+$           & 0.2033  \\
                            &        & $ 2*(p_8+p_{12}+p_{16})+3*(p_{13}+p_{18})+4*p_{19} $     & \\
                            & Сумм.  & $m_1+m_2$                                                & 0.2551  \\ \hline

                            & P1     & $ l_1/\lambda'_1$                          &  0.0026\\
        Время ожидания      & P2     & $ l_2/\lambda'_2$                          &  0.0017\\
                            & Сумм.  & $(w_1\lambda'_1 + w_2\lambda'_2)/\lambda'$ &  0.0020\\ \hline

                            & P1     & $m_1/\lambda'_1$                        & 0.0519  \\
        Время пребывания    & P2     & $m_3/\lambda'_3$                        & 0.1017  \\
                            & Сумм.  & $(u_1\lambda'_1+u_2\lambda'_2)/\lambda'$& 0.0851  \\ \hline

                            & P1     & $p_{14}+p_{15}+p_{16}+p_{17}+p_{18}+p_{19}$             & 0.0012  \\
        Вер-ть потери (Pt)  & P2     & $p_{19}$                                                & 0.0006  \\
                            & Сумм.  & $(\lambda_1*Pt_1+\lambda_2*Pt_2)/(\lambda_1+\lambda_2)$ & 0.0008  \\ \hline

                            & P1     & $\lambda_1*(1-Pt_1)$    & 0.9988 \\
        Производительность  & P2     & $\lambda_2*(1-Pt_2)$    & 1.9988 \\
                            & Сумм.  & $\lambda'_1+\lambda'_2$ & 2.9977 \\ \hline
    \end{tabular}
    \caption{Характеристики системы №1.}
\end{table}

\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    Характеристика & Класс заявок & $\lambda$                  &  b  \\ \hline
    Нагрузка       &    1       & 0.05 0.2 0.35 0.5 0.65           & 1 0.333 0.2 0.1429 0.111   \\
                   &    2       & 0.2 0.5 0.8 1.1 1.4              & 2 1 0.666 0.5  0.4         \\
                   &   Сумм.    & 0.25 0.7 1.15 1.6 2.05           & 3 1.33  0.866 0.6429 0.511  \\ \hline

    Загрузка       &    1       & 0.049 0.195 0.311 0.371 0.38     &0.272 0.275 0.195 0.143 0.111\\
                   &    2       & 0.181 0.396 0.567 0.701 0.8      &0.901 0.658 0.496 0.397 0.331\\
                   &   Сумм.    & 0.115 0.295 0.439 0.536 0.59     &0.587 0.466 0.345 0.270 0.221\\ \hline

    Длина очереди  &    1       & 0.0025 0.051 0.15  0.245 0.298   &0.225 0.142 0.066 0.033 0.018 \\
                   &    2       & 0.0034 0.042 0.137 0.272 0.414   &0.633 0.223 0.089 0.043 0.023 \\
                   &   Сумм.    & 0.006  0.094 0.287 0.516 0.713   &0.858 0.366 0.155 0.076 0.042 \\ \hline

    Число заявок   &    1       & 0.051 0.235 0.43 0.564 0.614     &0.443 0.378 0.241 0.166 0.125 \\
                   &    2       & 0.203 0.552 0.997 1.505 1.995    &2.695 1.328 0.791 0.555 0.428 \\
                   &   Сумм.    & 0.255 0.788 1.427 2.07 2.61      &3.138 1.706 1.032 0.722 0.553 \\ \hline

    Ср.вр.         &    1       & 0.002 0.013 0.024 0.032 0.037    &0.493 0.172 0.070 0.034 0.019 \\
    ожидания       &    2       & 0.001 0.008 0.018 0.028 0.039    &0.547 0.125 0.046 0.021 0.012 \\
                   &   Сумм.    & 0.002 0.010 0.021 0.030 0.038    &0.532 0.140 0.054 0.026 0.014 \\ \hline

    Ср.вр.         &    1       & 0.051 0.060 0.070 0.075 0.077    &0.971 0.458 0.257 0.171 0.126 \\
    пребывания     &    2       & 0.101 0.112 0.132 0.159 0.188    &2.331 0.747 0.410 0.281 0.215 \\
                   &   Сумм.    & 0.085 0.089 0.104 0.122 0.140    &1.946 0.655 0.360 0.245 0.186 \\ \hline

    В-ть потреи    &    1       & 0.001 0.032 0.123 0.255 0.392    &0.543 0.173 0.061 0.025 0.012 \\
                   &    2       & 0.0005 0.014 0.060 0.142 0.241    &0.422 0.111 0.035 0.014 0.006 \\
                   &   Сумм.    & 0.0007 0.022 0.089 0.196 0.314    &0.462 0.132 0.044 0.018 0.008 \\ \hline
    Пропускная     &    1       & 0.998 3.871 6.137 7.445 7.902    &0.456 0.826 0.938 0.974 0.987 \\
       способность &    2       & 1.998 4.928 7.512 9.432 10.61    &1.155 1.776 1.928 1.971 1.986 \\
                   &   Сумм.    & 2.997 8.800 13.65 16.87 18.51    &1.612 2.602 2.867 2.945 2.973 \\ \hline
    \end{tabular}
    \caption{Таблица варьированных характеристик ( $\lambda_1$ от 1 с шагом 3,
             $\lambda_2$ от 2 с шагом 3, $\mu_1$ от 1 с шагом 2 и $\mu_2$ от 1 с шагом 1)}
\end{table}

 \begin{figure}[h] 
    \includegraphics{lamb1_plot.png}
    \caption{График варьирования $\lambda_1$}
     \label{l1pic}
 \end{figure}

\begin{figure}[h!] 
    \includegraphics{lamb2_plot.png}
    \caption{График варьирования $\lambda_2$}
    \label{l2pic}
\end{figure}

\begin{figure}[h!] 
    \includegraphics{m1_plot.png}
    \caption{График варьирования $\mu_1$}
    \label{m1pic}
\end{figure}

\begin{figure}[h!] 
    \includegraphics{mu2_plot.png}
    \caption{График варьирования $\mu_1$}
    \label{m2pic}
\end{figure}

\section*{Результаты работы}
В ходе выполнения домашнего задания была исследована многоканальная СМО с
неоднородным потоком заявок и абсолютным приоритетом. В результате были получены
следующие значения.
Загрузка системы заявками второго класса в силу их приоритета больше загрузки
заявками первого класса. Длина очереди заявок второго класса превосходит первый
класс в силу вытеснения заявок меньшего приоритета из очереди при приходе заявки
большего приоритета. Абсолютный приоритет так же проявляется в других
характеристиках. Однако при высоких показателях характеристик второго класса
обработка заявок первого класса теряет в производительности, увеличивает
вероятность потери и времени пребывания в очереди.
Варьирование интенсивности входных потоков ( $\lambda_1$ -- рис.~\ref{l1pic} (стр.\pageref{l1pic}), 
$\lambda_2$ -- рис. \ref{l2pic} (стр.\pageref{l2pic})) демонстирует зависимость от 
них растующие линейно загрузку и числа заявок в системе. Варьирование средней 
длительности обслуживания ( $\mu_1$ -- рис. \ref{m1pic} (стр. \pageref{m1pic}), 
$\lambda_2$ -- рис. \ref{m2pic} ( стр. \pageref{m2pic}) отражает её зависимость
нагрузки и времени ожидания, которые практически экспоненциальные.

\end{document}
